Warning: session_start(): open(C:\Windows\temp\sess_hj649ihs5r64nvfbp1kup896m2, O_RDWR) failed: No space left on device (28) in C:\www\lemma4.1php\login.php on line 15 Warning: session_commit(): open(C:\Windows\temp\sess_hj649ihs5r64nvfbp1kup896m2, O_RDWR) failed: No space left on device (28) in C:\www\lemma4.1php\login.php on line 36 Warning: session_commit(): Failed to write session data (files). Please verify that the current setting of session.save_path is correct (C:\Windows\temp) in C:\www\lemma4.1php\login.php on line 36 Математика для Психологов

Случайные величины.

Пусть в результате испытания происходит не только событие, но есть возможность наблюдать некоторое число. Например, бросая игральный кубик, мы наблюдаем число точек на верхней грани.

Определение 22. Случайная величина – это величина, принимающая в результате испытания то или иное числовое значение, но заранее неизвестно, какое именно.

Таким о.бразом, с каждой случайной величиной связано некоторое множество значений, которые могут появляться с различной вероятностью.

Определение 23. Правило, устанавливающее связь между возможными значениями и их вероятностями, называется законом распределения случайной величины.

Пусть случайная величина X принимает конечное число значений x1,x2,...,xn. При этом каждое значение с соответствующей вероятностью p1,...,pn . Сведем все данные в таблицу распределения случайной величины:

Ассоциативная связь

Поскольку мы полагаем, что случайная величина в результате испытания примет то или иное из указанных значений, то всегда справедливо равенство

p1+p2+...+pn=1. 

Рассмотрим несколько примеров и построим соответствующие таблицы распределения для введенных в них случайных величин.
Ассоциативная связь


Ассоциативная связь

Графическое представление случайной величины

Для наглядного представления закона распределения случайной величины часто используют координатную плоскость. На оси абсцисс отмечают значения случайной величины, на оси ординат – вероятности этих значений. Если провести от полученных точек на плоскости вертикальные отрезки, то получится так называемая столбиковая диаграмма. Если последовательно соединить полученные точки отрезками, получится полигон. Для случайной величины из примера 17 с монетами построения приведены на рисунке.

Ассоциативная связь

Рассмотрим часто применяемую случайную величину, которая появляется в испытаниях Бернулли.

Определение 24. Пусть имеется схема испытаний Бернулли, то есть, испытание повторяется n раз, вероятность успеха в каждом испытании равна p. Общее число успехов есть случайная величина, принимающая значения 0,1,2,...,n. Такую случайную величину называют биномиальной и обозначают B(n,p). 

Вероятность того, что эта случайная величина примет значение

k равна p(p,n,k)=Cnkpk(1p)nk. В примере 17 была рассмотрена именно такая случайная величина Y=B(3,0.5). 

Ассоциативная связь

Операции над случайной величиной.

Пусть случайная величина X задана таблицей своих значений с оответствующими вероятностями. Если к каждому из этих значений прибавить одно и то же число, например число 3, то в результате мы получим новые числа – значения случайной величины X+3 . Таблица распределения случайной величины X+3 строится по таблице для X. 

Ассоциативная связь

Очевидно, что вероятности появления того или иного значения не изменятся. Точно также, но несколько сложнее, можно построить таблицу распределения для случайной величины X2 . Рассмотрим построение таких таблиц на конкретных примерах.

Ассоциативная связь


Ассоциативная связь



Ассоциативная связь

Числовые характеристики случайной величины

Любая случайная величина полностью определяется своим законом распределения. В некоторых случаях бывает очень удобно применять некоторые дополнительные числовые характеристики распределения, порой они оказываются даже важнее самого распределения.


Определение 25. Если имеется случайная величина X с таблицей распределения

Ассоциативная связь

то ее математическое ожидание определяется формулой

MX=x1p1+x2p2+...+xnpn=i=1nxipi 


В серии из большого количества испытаний среднее арифметическое полученных в этой серии значений случайной величины будет приближаться к ее математическому ожиданию.

Ассоциативная связь

Следствие 1. Математическое ожидание случайной величины, распределение которой нам неизвестно, можно оценить средним арифметическим ее значений в достаточно большой серии последовательных испытаний.

Следствие 2. В практически интересных случаях серии испытаний можно оценивать наиболее вероятный результат исходя из математического ожидания некоторой случайной величины

Ассоциативная связь

Пример 23. Предприниматель размышляет над тем, куда лучше вложить деньги – в киоск для торговли мороженным или в палатку для торговли хлебом.
Вложение в киоск с вероятностью 0.5 обеспечит годовую прибыль 5000 долл., с вероятностью 0.2 -10 000 долл., и с вероятностью 0.3 -3000 долл.
Для палатки аналогичные цифры такие: 5500 долл. с вероятностью 0.6, 5000 долл. с вероятностью 0.3 и 6500 долл. с вероятностью 0.1. В каком случае (для киоска или для палатки) математическое ожидание годового дохода больше?
Для каждого из двух решений годовая прибыль является случайной величиной. Обозначим эти случайные величины X и Y, и построим их таблицы распределения.

Ассоциативная связь

Дисперсия и среднеквадратическое отклонение

Рассмотрим случайные величины X и Y 

Ассоциативная связь

Нетрудно видеть, что у них одинаковое математическое ожидание MX=MY=100. 
В то же время, X гораздо более стабильная величина, Y содержит больше риска.
Введем еще одну характеристику случайной величины – дисперсию.

Определение 26. Число, вычисленное по формуле DX=M(XMX)2 , называется дисперсией случайной величины X . Формула σ=DX определяет среднеквадратическое (стандартное) отклонение σ. 

Если случайная величина X задана таблицей

Ассоциативная связь

То дисперсию можно также вычислить по формулам, которые будут обоснованы ниже:

DX=i=1n(xiMX)2 или DX=i=1nxi2pi(MX)2 


Ассоциативная связь

Докажем, например, первое равенство

Ассоциативная связь

Математическое ожидание может быть любым числом. Дисперсия всегда неотрицательна.

Определение 27. Случайная величина, у которой математическое ожидание равно 0, а дисперсия равна 1 называется стандартизованной.

Пусть имеется случайная величина X с математическим ожиданием μ и стандартным отклонением μ . Тогда случайная величина Y=Xμσ является стандартизованной.

Сумма случайных величин

Если случайная величина X принимает значение x , а величина Y – значение y , то X+Y принимает значение x+y. 

Пример 26. Студент сдает в сессию три экзамена, оценка по каждому случайная величина X,Y,Z, соответственно. Тогда общая сумма оценок за три экзамена – случайная величина X+Y+Z. 

Ассоциативная связь

Свойства математического ожидания

Ассоциативная связь

Свойства дисперсии.

Ассоциативная связь

Мы получили формулу M(kXk)=k(MXk) которая верна для любых случайных величин. Аналогичная формула для дисперсии D(kXk)=k(DXk) верна только для независимых случайных величин.

Ассоциативная связь

Определение 28. Случайные величины X,Y,Z,... называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какие значения приняли другие величины.