Warning: session_start(): open(C:\Windows\temp\sess_r7ut1i9atpbcdk6k36eckokqr0, O_RDWR) failed: No space left on device (28) in C:\www\lemma4.1php\login.php on line 15 Warning: session_commit(): open(C:\Windows\temp\sess_r7ut1i9atpbcdk6k36eckokqr0, O_RDWR) failed: No space left on device (28) in C:\www\lemma4.1php\login.php on line 36 Warning: session_commit(): Failed to write session data (files). Please verify that the current setting of session.save_path is correct (C:\Windows\temp) in C:\www\lemma4.1php\login.php on line 36 Математика для Психологов

Условная вероятность

Пусть p некоторое высказывание с вероятностью P(p) . Если получена еще информация, что одновременно истинно q , то возникает условная вероятность

Если p(q)>0 , то условную вероятность события p при условии q будем обозначать P(p|q) .

Если q истинно, то универсальное множество U сводится к множеству Q и все меры на нем пропорционально возрастают m(x)=km(x) .
Отсюда 1=m(Q)=km(Q) , следовательно k=1m(Q) и m(PQ)=m(PQ)m(Q) .

Тогда имеет место формула для условной вероятности:

P(p|q)=P(pq)P(q) 

Если события независимы, то P(p)P(q)=P(pq) , то есть P(p|q)=P(p) .

Ассоциативная связь

Определение независимости событий может быть распространено на несколько событий: события называются независимыми, если p(qrs)=p(q)p(r)p(s) 

Следующий пример снова прорешаем двумя способами.

Ассоциативная связь

Этот же пример можно решить с помощью дерева

Ассоциативная связь

Формула полной вероятности.

Одним из эффективных методов подсчета вероятностей является формула полной вероятности. Многие задачи с ее помощью удобнее решать без построения дерева. Предположим, что событие A может наступить только одновременно с одним из попарно несовместимых событий H1,H2,H3 , назовем их гипотезами.
На рисунке изображены множества истинности события и гипотез:

Ассоциативная связь

Поскольку события-гипотезы были несовместимы, то имеют месть формулы:

A=AH1+AH2+AH3,p(A)=p(AH1)+p(AH2)+p(AH3). 

Но по формуле условной вероятности

p(AHi)=p(A|Hi)p(Hi) .

Отсюда получаем формулу полной вероятности события на системе альтернатив

p(A)=p(A|H1)p(H1)+p(A|H2)p(H2)+p(A|H3)p(H3). 

Ассоциативная связь

Решение этой же задачи с помощью дерева

Ассоциативная связь

Формула Байеса


Рассмотрим противоположную задачу. Пусть наугад выбранное лицо – дальтоник. Какова вероятность, что это мужчина? Эта задача может быть решена с помощью формулы Байеса, которая тесно связана с формулой полной вероятности.

Событие A могло произойти только одновременно с одной из альтернатив H1,H2 . Поэтому можно вычислить вероятность того, имела ли место конкретная альтернатива p(A|H1),p(A|H2) . Эти вероятности будут отличаться от p(H1),p(H2) .
По формуле условной вероятности имеем

p(AHi)=p(A|Hi)p(Hi) , и одновременно

p(HiA)=p(Hi|A)p(A) 

Отсюда p(A|Hi)p(Hi)=p(Hi|A)p(A) или p(Hi|A)=p(A|Hi)p(Hi)p(A) 

Окончательно, если вспомнить формулу полной вероятности для A 

p(Hi|A)=p(A|Hi)p(Hi)p(A|H1)p(H1)+p(A|H2)p(H2)+p(A|H3)p(H3) 

На данных в примере 10 решим следующую задачу.

Пример 11. Известно, что человек, зашедший в кабинет, дальтоник, какова вероятность, что это мужчина? Для решения используем формулу Байеса.
Пусть гипотеза F = «выбранное лицо – женщина», гипотеза H = «выбранное лицо - мужчина», D = «выбранное лицо – дальтоник». Требуется вычислить p(H|D) .
Имеем

p(F)=p(H)=0.5, p(D|F)=0.0025, p(D|H)=0.05. 

По формуле полной вероятности

p(D)=0.50.05+0.50.0025=0.02625 

Тогда по формуле Байеса

p(H|D)=0.050.50.02625=0.9541 

И еще один пример.

Ассоциативная связь

Необходимо заметить, что независимость событий A и B на всем универсальном множестве не влечет за собой их независимость при произвольном условном множестве C .
Если p(AB)=p(A)p(B) , то это не значит, что p((AB)|C)=p(A|C)p(B|C) .

Схема испытаний Бернулли

Пусть случайное событие A может произойти в результате испытания. Мы измеряем только произошло оно, или нет, то есть, возможны всего два события A и ¬A . Если обозначить их вероятности p и q соответственно, то p+q=1 . Пусть испытание повторяется при одних и тех же условиях несколько раз, например, три раза. Нарисуем дерево возможных исходов трех испытаний.

Ассоциативная связь


Мы видим, что вероятность в каждом из исходов представима в виде pkq3k ,
где k показывает число наступлений события A , а (3k) соответственно число не наступлений. Такая вероятностная схема называется схемой Бернулли или схемой биномиальных экспериментов.

Определение 20. Эксперимент называется биномиальным если:
  • он состоит из фиксированного числа испытаний;
  • в каждом из этих испытаний происходит либо не происходит некоторое событие;
  • вероятность этого события одинакова в каждом испытании;
  • испытания независимы одно от другого.

Пример 13. Тренированный стрелок совершает пять выстрелов по мишени в одних и тех же условиях. Число попаданий в мишень меняется от одного до пяти.

Пример 14. Бросают один за другим три игральных кубика. Число выпадений шестерки может принимать значения от 0 до 3 включительно.

Вероятность того, что событие A , вероятность наступления которого при одном испытании равна p , произойдет ровно k раз после n испытаний обозначим

p(p,n,k)=Cnkpkqnk