Warning: session_start(): open(C:\Windows\temp\sess_iugp84jgs2270knja5e0v8p4f5, O_RDWR) failed: No space left on device (28) in C:\www\lemma4.1php\login.php on line 15 Warning: session_commit(): open(C:\Windows\temp\sess_iugp84jgs2270knja5e0v8p4f5, O_RDWR) failed: No space left on device (28) in C:\www\lemma4.1php\login.php on line 36 Warning: session_commit(): Failed to write session data (files). Please verify that the current setting of session.save_path is correct (C:\Windows\temp) in C:\www\lemma4.1php\login.php on line 36 Математика для Психологов

В обыденной жизни мы часто слышим высказывания типа: «Вероятно, сегодня будет дождь», «С равной вероятностью монета может упасть вверх гербом или цифрой» и т.д. В каждом таком случае наше высказывание относится к событию, в исходе которого мы не уверены, и делаем только предсказание относительно результата. Теория вероятностей представляет собой математическую схему для изучения подобных утверждений.

Определение 18. Случайным событием называется событие, которое может произойти, а может и не произойти в результате некоторого испытания (эксперимента).

Рассмотрим эксперимент (испытание), исход которого заранее неизвестен. При этом испытания можно повторять бесконечно при одних и тех же внешних условиях. Под экспериментом или испытанием будем понимать как целенаправленное действие, так и явление, не зависящее от наблюдателя. Пусть можно указать все возможные исходы эксперимента (множество логических возможностей) но до получения самого результата (случайного события) невозможно сказать, что именно осуществится. Если рассматривать его изолированно, то никакого естественного определения вероятности какого-либо конкретного исхода этого эксперимента не существует. Наша цель другая, мы хотим найти способ приписывать вероятность всем мыслимым высказываниям о его исходе. Число таких высказываний бесконечно. Однако мы будем использовать фундаментальный принцип: любым двум эквивалентным высказываниям приписывается одна и та же вероятность. Высказывания назывались эквивалентными, если у них совпадали множества истинности. Пока у нас имеется конечное множество логических возможностей, множеств истинности будет тоже конечное число.

Иногда вероятность события задают в процентах (от 0% до 100%). Например, вероятность истинности высказывания «Идет дождь» в ясный солнечный день может быть равна 0,1 или 10%.

Как уже говорилось, события и испытания бесконечны, но действует закон: эквивалентные события имеют одинаковую вероятность. Например, если в процессе испытания может произойти один из n равновероятных исходов, то каждому исходу естественно приписать вероятность p=1n .

Опишем процесс приписывания вероятностей не равновероятным событиям.
Введем понятие меры множеств истинности. Это число принадлежащее отрезку от 1 до 0. Меру универсального множества положим равной единице. Мера пустого множества равна нулю. Мера множества истинности любого подмножества тогда принимает значения от 0 до 1. Определить ее можно следующим образом. Множество логических возможностей конечно, поэтому припишем его элементам одинаковые меры, таким образом, чтобы в сумме получить единицу. Мера любого множества истинности, то есть подмножества универсального множества, равна сумме мер всех его элементов.

Вероятность случайного события, то есть меру неопределенности события, можно рассматривать как меру его множества истинности. Эта мера принимает значения в пределах от 0 до 1 и вычисляется уже описанным образом. .

Пусть имеется событие или высказывание q , его множество истинности Q .
Будем обозначать вероятность события p(q) , а меру его множества истинности m(Q) . Если событие невозможно (высказывание логически ложно), то вероятность этого события равна 0, или m()=0 . Если событие происходит всегда (высказывание логически истинно), то вероятность этого события равна 1, или m(U)=1 . Для произвольного случайного события p(q)=m(Q) .

Пример 1. Бросаем игральную кость. Множество исходов U={1,2,3,4,5,6}. Вероятности выпадения любой из граней одинаковы. Следует приписать любому элементу вероятность p(x)=16. Высказывание q = «Выпавшее количество очков меньше 4» будет истинным в случаях {1,2,3}. 
Тогда p(q)=36=12. 

Пример 2. (несимметричной меры). Два множества возможностей, полученных в результате бросания двух монет, или двукратного бросания одной монеты. Множество U1={GG,GR,RG,RR}, полученное при фиксировании результата появившегося на монетах. На этом множестве можно ввести симметричную меру, так как все события равновероятны. Множество U2={twoG,oneG,zeroG}. В этом случае мы фиксировали число выпадений герба. Здесь невозможно ввести симметричную меру, так как события не являются равновероятными.


Свойства вероятностной меры

Перечислим основные свойства вероятностной меры первые два из них следуют непосредственно из определения.


Для проверки третьего свойства достаточно вспомнить теорему о числе элементов объединении конечных множеств. Это свойство для пересекающихся множеств истинности может быть переформулировано таким образом:
d) Для любых двух множеств X и Y имеем

m(XY)=m(X)+m(Y)m(XY) 

Ввиду того, что вероятности событий получаются непосредственно из вероятностной меры множеств истинности, все свойства меры могут быть прочитаны на языке вероятностей событий. Свойства вероятностей событий (высказываний)


Во введенном нами понятии вероятности случайного события существенно использована конечность множества вероятных исходов. Однако легко привести примеры, когда пространство элементарных событий бесконечно или даже несчетно. Например, случайный опыт с измерением физических параметров – температуры, длины, и т. д. Рассмотрим ситуацию с более общей точки зренияи расширим понятие вероятности.

Классическая вероятность.

Если все события равновозможны, или имеют одинаковый вес, то p(q)=mn , где n общее их число, m число элементов во множестве истинности. Эта формула предполагает конечность числа исходов.

Статистическая вероятность .

Пусть производится эксперимент, в результате которого может произойти или не произойти событие A . Повторяем его n раз. Пусть событие произошло m раз. Отношение mn называется относительной частотой появления события A в n испытаниях. Если в результате достаточно большого числа испытаний относительные частоты группируются около некоторой постоянной, то эту постоянную будем считать статистической вероятностью при больших . В этом определении число исходов эксперимента строго говоря бесконечно.

Пример 3. Если долго бросать монету, то вероятность выпадения герба равна p(A)=12. 


Геометрическая вероятность .

Пусть на плоскости имеется фигура F , содержащая фигуру f . Эксперимент состоит в том, что на фигуру F бросается точка. Тогда пространство возможных исходов можно отождествить с этой фигурой. Число точек в этом случае бесконечно, причем все исходы равновероятны. Определим A как событие, заключающееся в том, что точка попала в фигуру f . Тогда вероятность события A определяется как отношение площадей фигур F и f . То есть по формуле p(A)=SfSF 

Такое определение дает нам геометрическую вероятность. Аналогично можно определить геометрическую вероятность на прямой, где вместо площадей фигур будет выступать длина отрезков.

Пример 4. Врезультате урагана был оборван телефонный кабель между 20-м и 60-м километрами линии. Какова вероятность того, что обрыв произошел между 20-м и 25-м километрами? Здесь LF=6020=40,Lf=2520=5,p(A)=540=18. .

Субъективная вероятность.

Во многих ситуациях определение вероятности событий приведенными выше способами невозможно. Тогда на первый план выступает понятие вероятности как меры достоверности того или иного события. Если в этом случае провести экспертный опрос, то на основе его результатов будет получена так называемая субъективная вероятность. Например, какова вероятность, что некто станет президентом на выборах? В этой ситуации речь может идти только о вероятности в субъективном смысле.

Формулы алгебры событий. Совместимые и независимые события.

Данное нами определение вероятности, как меры множества истинности позволяет рассматривать операции с событиями аналогично уже введенным операциям с множествами.

Пусть были определены некоторые элементарные события, рассмотрим и введем обозначения для их комбинации. Это даст нам способы вычисления вероятностей сложных комбинаций элементарных событий.
Пусть:
«A » - это случилось в июне
«B » - это случилось в июле
«C » - это случилось в августе
Их суммой A+B+C назовем ABC=A+B+C 
Произведение событий AB=AB 
Удобной геометрической интерпретацией снова могут служить круги Эйлера.

Ассоциативная связь

Заметим, что в данном случае CD= 

Уже была показана связь между высказываниями и их множествами истинности. Таким образом, все, что было изучено в отношении высказываний, может быть перенесено на случайные события. Например, при вычисление вероятности суммы двух событий можно использовать формулу p(A+B)=p(A)+p(B)p(AB) .

Определение 19. Если события не могут произойти одновременно, то они называются несовместимыми. Для несовместимых событий p(AB)=0 .

Определение 20. События называются независимыми, если p(AB)=p(A)p(B) 

Определение верно также если рассматривать три события (или чентыре и более...), они называются независимыми, если p(ABC)=p(A)p(B)p(C) .
Перейдем к примерам, показывающим, как вычислять вероятности.

Ассоциативная связь


Ассоциативная связь

Для этого примера вычисление вероятностей можно произвести с помощью дерева, приема уже известного нам при работе с высказываниями.
Так же как и для множества логических возможностей построим так называемое дерево вероятностей, учитывающее все возможные исходы. Здесь вершинам дерева, кроме концевых, соответствуют испытания, а ребрам - события. Четыре полученных возможных исхода обозначены концевыми вершинами дерева. К каждой из этих возможностей ведет путь из начальной точки, в нашем случае он состоит из двух ребер дерева. Для нахождения вероятностей каждого из исходов перемножаются вероятности ребер соответствующего пути. Искомая вероятность вычисляется как сумма p2+p3=0.095 .

Ассоциативная связь


Важное замечание. Поскольку все возможные исходы составляют достоверное событие, то суммарная вероятность вершин на каждом ярусе равна 1.

Также двумя способами решим следующий пример.

Ассоциативная связь

Как и в предыдущем случае существует второй способ решения – построение дерева вероятностей. Интересующая нас вероятность вычисляется как сумма вероятностей попарно несовместимых событий.

Ассоциативная связь