Warning: session_start(): open(C:\Windows\temp\sess_sfcrukk71opifq3l28mc8qoss0, O_RDWR) failed: No space left on device (28) in C:\www\lemma4.1php\login.php on line 15 Warning: session_commit(): open(C:\Windows\temp\sess_sfcrukk71opifq3l28mc8qoss0, O_RDWR) failed: No space left on device (28) in C:\www\lemma4.1php\login.php on line 36 Warning: session_commit(): Failed to write session data (files). Please verify that the current setting of session.save_path is correct (C:\Windows\temp) in C:\www\lemma4.1php\login.php on line 36 Математика для Психологов

Определение 16. Разбиением множества на классы называется разделение на непересекающиеся, но в сумме исчерпывающие его подмножества.

Обычно приходится иметь дело с разбиениями, построенными на базе того или иного признака, по которому элементы множества объединяются в классы. Например, множество всех студентов разбивается на подмножества студентов разных курсов. Признаки, по которым разбивается множество, могут быть самыми разными. Но такие признаки не вполне произвольны. Предположим, например, что мы хотим разбить множество студентов экономического факультета по следующему признаку: студент Иванов попадает в один класс со студентом Петровым, если и только если он учится в университете на год больше Петрова. Ясно, что никакого разбиения таким путем получить нельзя. Если Иванов попал в один класс с Петровым, то Петров учится на год меньше Иванова, значит, он не может попасть в один класс с Ивановым по нашему признаку. Он не может даже попасть в один класс с самим собой! Приведенный пример подсказывает условия, которым должен удовлетворять любой признак разбиения некоторого множества на классы. Ниже эти условия приведены без доказательства их необходимости и достаточности.
Пусть M - некоторое множество и пусть некоторые из пар x,y этого множества являются "отмеченными". При этом x,y и y,x - две, вообще говоря, различные пары. Если x,y - "отмеченная" пара, то мы будем говорить, что элемент x связан с y отношением ϕ . Например, если иметь в виду разбиение студентов на курсы, то означает: "студент x учится на одном курсе со студентом y ". Данное отношение ϕ называется отношением эквивалентности, если оно обладает следующими свойствами:

1) рефлексивность xx ;
2) симметричность, если xy , то yx ;
3) транзитивность, если xy , yz , то xz .

Как уже упоминалось, для того чтобы по данному отношению можно было разбить множество на непересекающиеся классы, необходимо и достаточно, чтобы это отношение было отношением эквивалентности.
Пример разбиения универсального множества на четыре класса эквивалентности

U={(PQ),(P¯Q),(PQ¯),(P¯Q¯)}. 

Определение 17. Измельчение разбиений. Если{A1,A2,...,Ai,...} и {B1,B2,...,Bj,...} - два разных разбиения множества U , то мы получим новое разбиение, рассматривая систему всех подмножеств вида AiBj . Это новое разбиение называется измельчением двух первоначальных разбиений.

Разбиения и измельчение разбиений часто используют для представления отдельных этапов какого-либо процесса. Графическим представлением такого процесса служит дерево возможностей. Рассмотрим пример приложения понятия разбиений в психологии. Пусть требуется изучить поведение небольшой группы лиц, которым поручено совместное решение какой-то задачи. Прежде чем прийти к решению, члены этой группы посвящают много времени спорам и обсуждению, и психолог занимается изучением роли каждого субъекта в такой ситуации. В подобном эксперименте наблюдатель записывает имя каждого субъекта, делающего замечание, вместе с именем того, к кому направлено замечание. Иногда отмечается природа каждого замечания вместе с моментом времени, когда оно было сделано.
Пусть у нас было четыре человека a,b,c,d, и пусть U - множество всех
сделанных замечаний. Образуем разбиение {S(a),S(b),S(c),S(d)} множества U , где S(a) - множество всех замечаний, сделанных a и т.д. соответственно. Образуем также разбиение {T(a),T(b),T(c),T(d)} где T(a) - множество всех замечаний, адресованных к a и т.д. Пусть, например, психолога интересует следующий вопрос. Упорядочим ячейки S - разбиения по числу элементов, содержащихся в каждой ячейке. Сохранится ли тот же порядок следования ячеек, если так же упорядочить ячейки T - разбиения? Иначе говоря, справедливо ли следующее: лицу, сделавшему
наибольшее число замечаний, адресовано ли также наибольшее число замечаний?

Еще один пример измельчения разбиений показан на рисунке 5

Ассоциативная связь

Для любого конечного множества X обозначим n(X) число элементов в нем.

Теорема 3 (о числе элементов в объединении конечных множеств).
n(AB)=n(A)+n(B)n(AB) 

Доказательство. Нетрудно видеть, что справедливы формулы

n(A)=n(AB)+n(AB¯),n(B)=n(BA)+n(BA¯). 
Тогда n(A)+n(B)=n(AB)+n(AB)¯+n(BA)+n(BA¯). Или перепишем эту формулу n(A)+n(B)n(AB)=n(AB)+n(AB¯)+n(BA¯). Далее, множества

AB,AB¯,A¯B попарно не пересекаются. Следовательно, образуют разбиение множества AB .
Тогда n(AB)=n(AB¯)+n(A¯B)+n(AB). 

Учитывая предыдущую формулу, получаем нужное нам соотношение.