Warning: session_start(): open(C:\Windows\temp\sess_fm7f7frag3f6l99jt73bgctc14, O_RDWR) failed: No space left on device (28) in C:\www\lemma4.1php\login.php on line 15 Warning: session_commit(): open(C:\Windows\temp\sess_fm7f7frag3f6l99jt73bgctc14, O_RDWR) failed: No space left on device (28) in C:\www\lemma4.1php\login.php on line 36 Warning: session_commit(): Failed to write session data (files). Please verify that the current setting of session.save_path is correct (C:\Windows\temp) in C:\www\lemma4.1php\login.php on line 36 Математика для Психологов


Множеством принято называть вполне определенную совокупность объектов. Например, множество стульев в этой комнате, множество студентов НГУ. Все это конечные множества. Множество целых чисел, множество точек прямой линии - бесконечные множества. В дальнейшем мы будем рассматривать только конечные множества. Задать конечное множество можно двумя существенно разными способами. Можно описать элементы множества "Музыканты группы Битлз, существовавшей в Англии". А можно просто перечислить их: "Люди, которых зовут Ринго Стар, Джон Леннон, Пол Маккартни, Джордж Харрисон". При таком способе задания множества его элементы заключают в фигурные скобки. Оба раза мы определили одно и то же множество из четырех человек. Нас часто будет интересовать множество логических возможностей, как в примере с урнами из предыдущего раздела.

Определение 11. Множество, состоящее из некоторых элементов другого множества, называется подмножеством этого последнего множества.

Чтобы изучать всевозможные подмножества данного множества, нам потребуются некоторые определения.

Определение 12. Исходное множество называется универсальным множеством; подмножества, содержащие один элемент, называются единичными множествами; множество, вовсе не содержащее элементов, называется пустым множеством и обозначается Ø.

Например, пусть универсальное множество – множество студентов первого курса факультета психологии. Множества всех первокурсников-психологов, изучающих немецкий и английский языки, образуют два подмножества. Если полагать, что некоторые студенты могут изучать два языка, то эти подмножества могут иметь общие элементы или пересекаться. Множество студентов, изучающих испанский язык - пустое множество. Нам будет удобно включать в число различных подмножеств, которые могут быть построены из универсального множества, само это множество и пустое множество.

Теорема 2. Конечное множество, состоящее из N элементов, имеет 2N  подмножеств, включая его само и пустое множество.

Действительно, будем строить подмножества P множества U , рассматривая каждый элемент из U по очереди. При этом у нас есть две возможности, а именно, включить или не включить его в подмножество P . Если мы включим в P каждый элемент, то получим универсальное множество, если не включим никакого элемента, то получим пустое множество. Мы должны принять n решений, и для каждого имеем выбор из двух альтернатив. Имеется 22...2=2N способов принятия таких решений – это и есть число тех различных подмножеств U , которые могут быть построены.

Из двух или нескольких данных множеств можно с помощью различных операций образовать новые множества. Прежде чем определить эти операции, условимся, что все рассматриваемые множества являются подмножествами одного и того же универсального множества, и будем требовать, чтобы вновь образуемое множество тоже было подмножеством этого универсального множества. Для наглядного представления операций с множествами удобно пользоваться кругами Эйлера, прямоугольник на них обозначает универсальное множество, а круги обозначают подмножества.

Ассоциативная связь

Определение 12. Пусть P и Q - произвольные множества; их суммой, или объединением PQ называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств P и Q .

Объединение PQ - вся заштрихованная область на рисунке .

Определение 13. Назовем пересечением PQ множеств P и Q множество тех и только тех элементов, которые принадлежат P и Q одновременно.

Область на рисунке , заштрихованная дважды, является пересечением PQ . Аналогично определяется объединение и пересечение любого числа множеств. Если пересечение непустых множеств - пустое множество, то они называются непересекающимися.

Определение 14. Если P - данное подмножество универсального множества U , то дополнением P называется множество всех тех элементов из U , которые не
содержатся в P .

Дополнение будем обозначать P¯ , или ¬P когда это удобнее . Дополнение на круге Эйлера - та часть прямоугольника, которая находится вне окружности. Заметим, что дополнением пустого множества служит само универсальное множество, а дополнением универсального множества является пустое множество. Иногда нас будет интересовать только часть дополнения. Например, та часть дополнения множества Q , которая содержится в P . Ее можно записать как P¬Q или разность множеств PQ . Словами ее можно описать как ту часть элементов P , которые не принадлежат Q . Дополнение тоже можно записать как разность множеств ¬P=UP .

Соотношения между множествами и высказываниями

Существует тесная связь между множествами, составными высказываниями и операциями над ними. Мы уже могли заметить эту связь, когда рассматривали множества логических возможностей.

Определение 15. Пусть p,q,r,... означают некоторые высказывания и пусть U - их множество логических возможностей. Пусть P,Q,R,... означают подмножества U , для которых истинны соответственно высказывания p,q,r,... Тогда P,Q,R,... называются множествами истинности этих высказываний.

На рисунке 2 изображены множества и подмножества истинности P и Q для высказываний p и q .

Ассоциативная связь

Любое составное высказывание, будучи составлено из простых высказываний, тоже должно иметь свое множество истинности. Высказывание pq истинно, когда истинно или p , или q , или оба сразу. Таким образом, логические возможности, соответствующие pq , лежат или в P , или в Q , или в них обоих. Значит, мы должны поставить в соответствие pq множество PQ . С другой стороны, высказывание pq истинно, только когда истинны и p , и q , так что этому высказыванию мы должны поставить в соответствие множество PQ . Очевидно, что множеством истинности для ¬p будет P¯ .

Мы разобрали три основные связки, но все более сложные связки могут быть через них определены. Тем самым мы получили возможность «перевода» любой задачи, относящейся к составным высказываниям, в задачу теории множеств. Возможен также и обратный «перевод» задачи, касающейся множеств, на язык составных высказываний. Например, нетрудно показать, что pq эквивалентно ¬pq . Отсюда, множество истинности для импликации pq совпадает с множеством истинности для ¬pq , то есть оно имеет вид P¯Q . Отметим, что дополнением этого множества будет множество PQ=PQ¯ , представляющее собой множество истинности высказывания p¬q . Значит, множества P¯Q и дополнение к PQ , равное дополнению к PQ¯ совпадают. Таким образом, мы установили, что pq и ¬(p¬q) эквивалентны.

Если рассмотреть логически истинное высказывание, то нетрудно убедиться, что его множество истинности должно быть все U . Аналогично, множеством истинности логически ложного высказывания будет пустое множество  . Последнее, что нам осталось рассмотреть - это отношение следования. Мы показывали, что из p следует q тогда и только тогда, когда pq логически истинно, то есть его множество истинности совпадает со всем U . Учитывая показанные выше эквивалентности, это означает, что дополнение к PQ=U , или PQ= . А последнее, в свою очередь, означает, что Q включает в себя P . В таких случаях мы будем говорить, что «P есть подмножество Q » и записывать как PQ .
Наглядно эти рассуждения можно проследить с помощью кругов Эйлера представленных на рисунке 3. Не заштриховано PQ=P¬Q , множество истинности для высказывания p¬q .

Ассоциативная связь

Пример использования кругов Эйлера для трех множеств. Пусть универсальное множество U0 составляет всего 100 студентов. Из них составлены следующие подмножества: девушек 42 человека P ; изучают английский язык 30 человек Q ; живут в общежитии 28 человек R .
Одновременно живут в общежитии и изучают английский 11 человек . Девушки, живущие в общежитии и изучающие английский 3 человека .
10 девушек живут в общежитии, но не изучают английский . Живут в общежитии и изучают английский 8 юношей. Изучают английский, но не живут в общежитии 5 девушек.

Ассоциативная связь