Ясно, что одно из главных применений математики при решении той или иной научной проблемы - это обеспечение анализа логических возможностей. Например, чтобы знать истинно или ложно высказывание «Я учусь на факультете психологии», нужно знать, где вы вообще можете учиться. Таким образом, каждое высказывание можно связать с определенными логическими возможностями. Их мы всегда будем предполагать фиксированными и заранее известными. Условимся считать предложение бессодержательным и не рассматривать его как высказывание до
тех пор, пока не определены связанные с этим высказыванием логические возможности. Если мы изучаем составное высказывание, то потребуем, чтобы каждое из простых высказываний было связано с одним и тем же множеством логических возможностей. Вначале мы должны составить полный список логических возможностей, а потом уже рассматривать высказывание к ним относящиеся.
Как правило, для многих возможностей это высказывание окажется истинным, для многих ложным, и единственное, что здесь может сделать логика, - это указать случаи, когда оно истинно. Однако существует два важных исключения

Определение 5. Высказывание, истинное в каждом логически возможном случае, называется логически истинным. Высказывание, ложное в каждом логически возможном случае, называется логически ложным.

В этих двух случаях одной логики достаточно для полного анализа значения истинности. Чтобы убедиться в существовании таких высказываний, достаточно привести два простых примера. Логически истинным является, очевидно, высказывание p¬p . Примером логически ложного высказывания служит связка p¬p .

Приведем пример анализа логических возможностей одной очень популярной в теории вероятностей задачи. Пусть имеются две урны, в первой лежит два черных шара и один белый, во второй - два белых и один черный шар. Выберем наудачу одну урну и вынем из нее два шара. Какие возможности при этом существуют? Можно сделать такой анализ, при котором нас интересует только цвет вынутых шаров, он приведен в таблице ниже.

Ассоциативная связь

В следующей таблице произведен другой анализ, в котором принято во внимание различие между шарами из одной урны, имеющими одинаковый цвет. Иногда нужен именно этот, более тонкий анализ.

Ассоциативная связь

Таким образом, для одной и той же задачи можно анализировать логические возможности различными способами, от совсем грубого разделения возможностей до весьма тонкого. Существенными являются два требования: в любых мыслимых случаях должна реализоваться одна и только одна из этих возможностей, анализ должен быть настолько тонким, чтобы значение истинности каждого высказывания, связанного с данной проблемой могло быть определено в каждом случае. Если мы рассматриваем высказывание «Из первой урны вынуты белый и черный шары», то обе таблицы удовлетворяют этим требованиям. Если нас интересует высказывание «Из первой урны вынут первый белый шар и черный шар», то анализа в таблице .4 уже недостаточно.
Таблицы истинности, которые мы уже составляли, тоже дают хотя и очень грубый, зато удобный метод анализа логических возможностей.
Рассмотрим высказывание s : если выбрали первую урну, то или первый шар не белый, или второй шар черный. Это сложное высказывания, составленное из трех простых высказываний:

p - выбрали первую урну;
q - первый шар белый;
r - второй шар черный;
s=p(¬qr) .

Таблица 6 для него фактически представляет немного модифицированную таблицу истинности.

Таблица 6.

Ассоциативная связь

Если исследовать таблицу истинности, то нетрудно заметить, что события, описываемые строками 110 и 001 таблицы, выделенными желтым цветом, никогда не могут иметь места для нашего сложного высказывания. Отсюда для данных конкретных высказываний p,q,r мы должны исключить строки 110 и 001 из таблицы. После этого в ней остается всего шесть строк, или шесть логических возможностей. В каждом оставшемся логически возможном случае составное высказывание s будет истинным. Значит, s является логически истинным, поскольку оно оказывается ложным только в том случае, который не соответствует никакой реальной логической возможности.

Определение 6. Если три высказывания таковы, что логически возможными оказываются все восемь столбцов таблицы истинности, они называются логически независимыми.

В тех случаях, когда характер взаимосвязи между простыми высказываниями нам заранее неизвестен, мы будем считать их независимыми. Действительно, если составное высказывание оказалось логически истинным хотя бы при одном выборе независимых простых высказываний, то оно логически истинно по своей форме. Значит, оно будет логически истинно при любом другом выборе и при этом совершенно неважно, независимы или связаны между собой выбранные простые высказывания.

Еще один удобный способ анализа логических возможностей – это вычерчивание «дерева» логических возможностей. Проиллюстрируем этот способ на предыдущем примере с урнами. Графическое изображение процесса построения дерева логических возможностей дано на рисунке.

Ассоциативная связь

Заметим, что подобное дерево содержит всю информацию, относящуюся к данной классификационной проблеме. Каждый путь вдоль дерева от основания к вершине соответствует некоторой логической возможности. Последовательность отдельных стадий такой классификации может быть любой. Получающееся дерево может отличаться при этом от предыдущего, однако число логических возможностей (число концевых точек дерева) будет всегда одним и тем же. Дерево логических возможностей совсем не должно быть симметричным и может иметь произвольное количество ветвей.

Логические отношения

До сих пор мы рассматривали хотя и сложные, но изолированные высказывания. Рассмотрим взаимоотношения двух или нескольких сложных высказываний, так называемые рассуждения. Любое рассуждение состоит из двух элементов: посылки и заключения. Посылка – это известная субъекту информация об объекте. Заключение, или вывод, - утверждение, которое делается на основании этой информации. Задача логики выработать такую систему правил, на базе которой гарантировано истинное заключение на основе истинных посылок. Такое отношение называется логическим следованием. Итак, наиболее интересным является случай, когда из одного высказывания p логически следует другое высказывание q , или, как говорят, q логически выводимо из p . Например, в математической теореме из условий теоремы следует ее заключение. Отношение следования, исходя из анализа логических возможностей, можно определить следующим образом:

Определение 7. Из p логически следует q, если q истинно всякий раз, когда истинно p. Иначе говоря, если q истинно во всех логически возможных случаях, в которых p истинно.

Таблицы истинности для составных высказываний позволяют проверить, имеет ли место отношение следствия. Для конкретных примеров обратимся снова к таблице 1.

Ассоциативная связь

Возьмем в качестве посылки двойную импликацию pq . Так как это высказывание истинно только в первом и четвертом случаях, и в обоих этих случаях истинно также высказывание pq , то мы видим, что из pq следует pq . С другой стороны, высказывание pq в четвертом случае ложно, так что из pq не следует pq .

Между отношением следования и импликацией имеется тесная связь, но важно не путать эти два понятия. Импликация - это новое высказывание, составленное из двух данных, а следование - отношение между двумя высказываниями. Нетрудно доказать следующую теорему

Теорема 1. Из p логически следует q тогда и только тогда, когда импликация pq логически истинна.

Действительно, из высказывания p следует высказывание q , если q истинно всякий раз, когда истинно p . Это означает, что невозможен случай, когда p истинно, а q ложно, то есть pq имеет значениями только истину. Но это и есть логическая истинность высказывания pq . И наоборот, пусть импликация логически истинна. Тогда строка, когда истинно p и q ложно, не содержится в множестве логических возможностей. Отсюда, q истинно всякий раз, когда истинно p .

Импликация вообще является сложной для усвоения связкой. Так как мы условились, что между отдельными компонентами мы не предполагаем никакой смысловой связи, то она иногда приводит к парадоксам. Например, странно слышать, что высказывание «Если погода ясная, то я получу стипендию» истинно в дождливую погоду. Однако следует помнить, что импликация - это выражение одного из следующих возможных обстоятельств: 1) погода ясная, и я получу стипендию, или 2) погода не ясная, и я получу стипендию, или 3) погода не ясная, и я не получу стипендию. И в дождливую погоду оказывается верным 3). Но совсем не верно, что из того, что погода ясная следует, что я получу стипендию. И вполне возможно, что я ее не получу даже в ясную погоду. Логически возможен случай, когда первое из этих высказываний истинно, а второе ложно. Поэтому отношение следования не имеет места и приведенная импликация не является логически истинной. Если двойная импликация pq не только истинна, но и логически истинна, то это устанавливает определенное отношение между p и q .

Определение 8. Если во всех возможных случаях значения истинности p и q одинаковы, то говорят, что p и q эквивалентны.

Еще одно соотношение между высказываниями - несовместимость.

Определение 9. Два высказывания называются несовместными, если из истинности одного из них необходимо следует ложность другого.

Иначе говоря, несовместимость высказываний означает, что они никогда не могут оказаться истинными одновременно. Проверку логических отношений двух составных высказываний, имеющих одни и те же компоненты, удобнее всего тоже проводить с помощью таблиц истинности. Эти понятия несложно перенести и на отношения любого числа высказываний, а не только двух.

Импликация двух высказываний отличается от всех остальных связок еще и тем, что она несимметрична. Так pqqp,pqqp,pqqp. . Но pqqp . Последнее высказывание, qp , называется конверсией импликации. Многие из наиболее распространенных ошибок в рассуждениях происходят от смешения какого-либо высказывания с его конверсией. Интересно поэтому рассмотреть те импликации, которые могут быть образованы из высказываний p и q . Таблицы истинности этих четырех импликаций даны в таблице 7. Их названия следующие: 1 - импликация, 2 - конверсия импликации, 3 - конверсия контрапозиции, 4 - контрапозиция. Из этих таблиц легко видеть, что они попарно эквивалентны.

Ассоциативная связь

Одним из примеров фраз, означающих условное высказывание, могут служить распространенные в математике «необходимое» и «достаточное» условия. Предложение «p является достаточным условием для q » эквивалентно предложению: «Если p , то q ». Точно так же предложение «p является необходимым условием для q » эквивалентно «q , только если p ». Последнее высказывание утверждает, что «Если не p , то не q ». Но, как следует из таблицы 7, это эквивалентно импликации «Если q , то p ». Мы приходим к заключению, что утверждение необходимого условия является конверсией утверждения достаточного условия. И, наконец, если сделано как условное высказывание, так и его конверсия, то тем самым сделано высказывание двойной импликации.

Фактически, любое доказательство состоит в том, что показывают логическую истинность условного высказывания pq , здесь p является конъюнкцией посылок, а q - заключение. Иногда удобнее бывает показать, что логически истинно некоторое эквивалентное исходному условное высказывание. Нетрудно проверить с помощью построения таблиц истинности, что импликации pq эквивалентны следующие формы высказываний:

¬pq,¬q¬p,(p¬q)¬p,(p¬q)(r¬r). 

Все их довольно часто применяют при доказательстве вместо прямой импликации. Эти формы показывают, что при косвенном методе доказательства можно вместе с противоречащим допущением использовать первоначальную гипотезу или можно использовать это двойное предположение в прямом доказательстве заключения. Последнюю из форм косвенного доказательства часто называют приведением к абсурду.

Правильные аргументы

Одной из главных задач логики является проверка аргументов. Так как мы имеем дело с формальной логикой, дадим точное определение понятия аргумент. Под аргументом мы будем понимать утверждение того, что некоторое высказывание, называемое заключением, логически следует из других высказываний, называемых посылками.


Определение 10. Аргумент будет называться правильным тогда и только тогда, когда из конъюнкции посылок логически следует заключение.

Это означает, что всякий раз, когда истинны все посылки, заключение также является истинным. При этом нас не интересует истинность самого заключения или посылок. Приведем ряд примеров, которые показывают, что ни содержание высказываний, входящих в аргумент, ни их значения истинности не влияют на правильность аргумента при таком ее определении.

Пример 1.
Если Шекспир великий драматург, то его произведения ставят в театрах.
Но произведения Шекспира ставят в театрах.
-----------------------------------------------------------
Следовательно, Шекспир великий драматург.
Конечно, это заключение истинно. Однако аргумент неправильный, так как заключение не следует из двух приведенных посылок.

Пример 2.
Хорошую книгу легко читать.
Марсель Пруст писал книги.
Книги Марселя Пруста читать трудно.
--------------------------------------------------
Марсель Пруст писал плохие книги.
Здесь заключение ложно, но аргумент правильный. Парадокс состоит в том, что первая посылка ложна. Неудивительно, что из ложных посылок корректным путем выводится ложное заключение. Может быть и так, что все посылки ложны, заключение истинно и аргумент правильный, как показывает следующий пример.

Пример 3.
Все собаки имеют две ноги.
Все двуногие животные плотоядны.
----------------------------------------------
Следовательно, все собаки плотоядны.
Таким образом, правильность аргумента не зависит от того, что представляют собой его компоненты и определяется только его формой.