Случайные величины с бесконечным числом значений.

До сих пор мы рассматривали случайные величины, которые принимали конечное число значений. На практике часто возникают величины с бесконечными значениями.

Пример 29. Подбрасываем монету до первого выпадения герба.Случайная величина
Y , обозначающая количество бросаний, может принимать значения
1, 2, 3 и так далее, до бесконечности. Таблицу ее распределения можно записать следующим образом

Ассоциативная связь

Пример 30. На числовой оси случайным образом отмечаем точку на отрезке [0, 1]. Изначально все точки считаем «равноправными». Случайная величина X - число из отрезка [0, 1], соответствующее отмеченной точке - может принимать любые значения между 0 и 1.

Случайные величины в этих двух примерах обе принимают бесконечное число значений. Однако между ними есть существенное отличие. Для случайной величины Y мы построили бесконечную таблицу распределения. Для случайной величины X этого сделать нельзя, точки отрезка нельзя отделить одну от другой и записать в таблицу, пусть даже и бесконечную. Такая случайная величина называется непрерывной. Встречаются случайные величины , принимающие смешанные значения, их мы рассматривать не будем.

Непрерывные случайные величины

Определение 29. Непрерывной случайной величиной будем называть случайную величину, принимающую значения на прямой, полупрямой, или отрезке.

Для дискретной случайной величины мы искали вероятность событий вида X=c. В непрерывном случае такие вероятности равны нулю. Поэтому задача ставится следующим образом: найти вероятность того, что случайная величина X принимает значения из некоторого отрезка aXb. При этом неравенство может быть и строгим

p(aXb)=p(a<Xb)=p(aX<b)=p(a<X<b);p(Xc)=p(X>c);p(Xc)=p(X<c). Если Если случайная величина X с равной вероятностью принимает любые значения из отрезка [0, 1], то будем считать вероятность ее попадания в отрезок [a,b] равной длине этого отрезка. Например

p(0X0.5)=0.5;p(0.5X0.8)=0.3;p(0X1)=1;p(X0.8)=p(X0.2)=0.2. 

Рассмотрим функцию, график которой представлен на рисунке,

Ассоциативная связь

Легко видеть, что справедливо равенство p(a<X<b)=abf(x)dx. 

Действительно, вероятность события a<X<b равна площади фигуры, ограниченной прямыми y=0,x=a,x=b и графиком функции f(x). 
Таким образом f(x) задает закон распределения X. В общем случае f(x) может быть любой неотрицательной функцией.

Определение 30. Если имеется случайная величинаX и неотрицательная функция f(x), такая, что для любых чисел a и b,a<b выполнено равенство p(aXb)=abf(x)dx , то функцию f(x) называют плотностью распределения случайной величины X. 

Ассоциативная связь

Заметим, что интеграл от плотности распределения по всей области значений случайной величины равен единице.

Ассоциативная связь

Также, как для дискретных случайных величин для непрерывных случайных величин рассматривают числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсию и другие. Для их вычисления используют плотности распределения.

Если случайная величина X имеет плотность распределения p(x), то

MX=xp(x)dx, 

DX=(xMX)2p(x)dx. 

Определение 31. Рассмотрим для заданной случайной величины X функцию F(x)=p(Xx)=xp(t)dt. То есть это вероятность попадания данной случайной величины в область левее x. F(x) называется функцией распределения (законом распределения) X .

Это та первообразная для плотности распределения

p(x), для которой

Ассоциативная связь

График этой функции показан на рисунке. Условившись считать F()=0, 

F()=1 , мы можем вычислять любые вероятности по формуле Ньютона-Лейбница P(a<X<b)=F(b)F(a) , при этом для непрерывных случайных величин неравенство может быть и нестрогим. Функцию распределения можно построить и для дискретных случайных величин.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся на практике законы распределения дискретных и непрерывных случайных величин.

Биномиальный закон распределения.

В n испытаниях Бернулли число появления интересующего нас события является случайной величиной X с биномиальным законом распределения. Возможными значениями X служат все целые неотрицательные числа от нуля до n . Если вероятность появления события в одном испытании равна p, то вероятности появления определенного значения X=k задана формулами Бернулли:

P(X=k)=Cnkpk(1p)nk. 

Примеры такого распределения дает многократное бросание монет или игральной
кости. Нетрудно вычислить, что MX=np,DX=np(1p). 

Распределение Пуассона

Дискретная величина X имеет распределение Пуассона с параметром λ>0 если возможными ее значениями являются все целые положительные числа, а вероятности этих значений заданы формулами P(X=k)=λkk!eλ 

Имеются специальные таблицы значений P(X)=k 

Например, распределение Пуассона имеет число заболевших учащихся или число выполненных тестовых заданий за определенный промежуток времени. Приведем без доказательства значения математического ожидания и дисперсии для распределения Пуассона:

MX=DX=λ. 

Показательное распределение

Показательным называется распределение, плотность которого имеет вид

Ассоциативная связь

 Оно обычно применяется в теории обслуживания. Показательное распределение имеют интервалы времени между выполнением двух разных вопросов теста, между вызовами скорой помощи, между обращениями клиентов и т.д.

Вычислим математическое ожидание и дисперсию

 Ассоциативная связь

Ассоциативная связь


 

Равномерное распределение

Равномерное распределение на отрезке [a,b ] задают плотностью распределения

 Ассоциативная связь

Числа a и b называют параметрами равномерного распределения. Например, случайные ошибки округления при проведении числовых расчетов являются равномерно распределенными.

Ассоциативная связь

 

 Нормальное распределение

Это одно из наиболее часто встречающихся распределений. Распределение показателей, получаемых в эмпирических психодиагностических исследованиях при большом числе наблюдений, как правило, приближается к нормальному распределению. Говорят, что непрерывная случайная величина X имеет нормальное (или гауссово) распределение с параметрами μ и σ , если плотность ее распределения имеет вид: 

Ассоциативная связь

Параметры μ и σ имеют ясный смысл: это математическое ожидание и дисперсия соответственно: MX=μ,DX=σ. 

Случайная величина X , имеющая нормальное распределение обозначается X=N(μ,σ) .
На следующем рисунке представлены изменения графика в зависимости от математического ожидания и дисперсии

Ассоциативная связь

При μ=0,σ=1 σ=1 получаем стандартное нормальное распределениеN(0,1) .
Его плотность принято обозначать особым образом ϕ(x) , а случайную величину имеющую стандартное нормальное распределение обозначают U .

Ассоциативная связь

В психологических исследованиях нормальное распределение используется в первую очередь при разработке тестов интеллекта и способностей. Например, при построении шкалы умственного развития Стэнфорд-Бине применяли нормальный закон общего интеллекта с параметрами

μ=100,σ=16 .

Для определения значений функции ϕ(x)=12πex22 имеются специальные таблицы с разной степенью точности. Одна из таких таблиц приведена в приложении.

Таблица для распределения "Фи".